“三角板”与函数图象为背景的中考试题赏析

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，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：   ⑴若测得（如图7），求的值；   ⑵对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图8所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；   ⑶对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。     解析：⑴设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，又由三角板的特殊性可知，点的坐标为： (，)， 将(，)代入抛物线得，。   ⑵此问解法较多，现举例如下：   如图8，过点作轴于点，   解法一：证△∽△和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；   解法二：由解直角三角形和抛物线的有关知识可求得点的横坐标；   解法三：利用勾股定理和抛物线的有关知识可求得点的横坐标。   ⑶解法一：设（，）（），（，）（），   设直线的解析式为：，得，解得，又易知△∽△，，， ，.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）   解法二：设（，）（），（，）（），直线与轴的交点为，根据，可得   ，   化简，得. 又易知△∽△，∴ ，    ∴， ∴，∴为固定值。故直线恒过其与轴的交点（,）。   解法三： 的值也可以通过以下方法求得：   由前可知，，，由，得：，化简，得。   例3：（东营）：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点（2，0），点（1，0），如图9所示；抛物线经过点。                                                             ⑴求点的坐标；   ⑵求抛物线的解析式；   ⑶在抛物线上是否还存在点（点除外），使△仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由。   解析：⑴如图10，过点作轴，垂足为。易证△≌△，得，，即点的坐标为（3，1）   ⑵将点的坐标代入中，求得，即所求抛物线的解析式为：。   ⑶假设存在点，使△是直角三角形。即   ①如图10，若以为直角边，点为直角顶点，则延长至点使得，得到等腰直角三角形，过作轴，垂足为。易证△≌△，即，，易知点的坐标为（，），经检验

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