双曲线中的面积问题
概要:学习反比例函数时,我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题,应注意以下几个方面的基础知识:设反比例函数式为y=。⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段,由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。(如图1,以第一象限的图象为例)由四边形PMON为矩形。设P点坐标为(m,n),P在y=图象上,则有mn=k。∵OM=,ON=∴S四边形OMPN=OM·ON=·==⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段,并连接这一点与原点的线段,由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。(如图2,仍以第一象限的图象为例)由图象可知,S△P
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学习反比例函数时,我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题,应注意以下几个方面的基础知识: 设反比例函数式为y=。 ⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段,由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。(如图1,以第一象限的图象为例) 由四边形PMON为矩形。设P点坐标为(m,n),P在y=图象上,则有mn=k。∵OM=,ON= ∴S四边形OMPN=OM·ON=·== ⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段,并连接这一点与原点的线段,由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。(如图2,仍以第一象限的图象为例) 由图象可知,S△POM=S△PON= S四边形OMPN=。 ⑶理解点的坐标的几何意义:点P的坐标为(m,n),则表示P到y轴的距离;表示P到x轴的距离。 ⑷用好双曲线的对称性:双曲线关于原点O对称,因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。 ⑸会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上,设P点的横坐标为m,则P点的坐标可表示为(m,)
www.5ijcw.com ⑹会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形(如矩形、梯形、直角三角形等)。 一、用好双曲线的对称性 例1 若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B。则△ABC的面积为( )。 A。1 B。2 C。3 D。4 解:由A在双曲线y=上,AB⊥x轴于B。 ∴S△ABO=×1= 又由A、B关于O对称,S△CBO= S△ABO= ∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1 故选(A) 二、正确理解点的坐标的几何意义 例2 如图,反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点,交x轴于点M,交y轴于点N,则S△AOB= 。 解:由y=-x+2交x轴于点M,交y轴于点N M点坐标为(2,0),N点坐标为(0,2) ∴OM=2,ON=2 由 解得或 ∴A点坐标为(-2,4),B点坐标为(4,-2) S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM =ON·+OM·ON+OM·=6
www.5ijcw.com (或S△AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6) 三、注意分类讨论 例3 如图,正方形OABC的面积为9,点O是坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=(k>0,x>0)的图象上。点P(m、n)是函数函数y=上任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F,并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。 ⑴求点B的坐标和k值。 ⑵当S=时,求P点的坐标。 解:⑴设B点坐标为(x0,y0),B在函数y=(k>0,x>0)的图象上,∴S正方形OABC= x0y0=9,∴x0=y0=3 即点B坐标为(3,3),k= x0y0=9 ⑵①当P在B点的下方(m>3)时。 设AB与PF交于点H,∵点P(m、n)是函数函数y=
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