人教版九年级数学下册用函数观点看一元二次方程（第1课时）

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情境引入：
问题：  如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h＝20t—5t2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
二、自主探究
1.分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.
一般地，可以利用二次函数 深入探究一元二次方程 .
2.二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋1.
的图象如图26.2－2所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
得到：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.由图像可以知道，当自变量是2时函数值小于0，当自变量是3时函数值大于0，所以抛物线y=x2－2x－2在2<x<3之间的某个值时，y=0,即方程x2－2x－2＝0在2,3之间有根.
得到：可以通过取平均数的方法不断缩小根所在范围，逐步得到根所在范围，这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.
三小结归纳
1. 二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，会用估算
四、作业设计
教材习题26.2  1——6题
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