数学归纳法及其应用举例教案

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【教学目标】
    1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.
    2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用"数学归纳法"证明简单的与自然数有关的命题.
    3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.
    4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.
    5. 通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.
    【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
    【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
    【教学方法】类比启发探究式教学方法
    【教学手段】多媒体辅助课堂教学
    【教学程序】
    第一阶段:输入阶段--创造学习情境,提供学习内容
    1. 创设问题情境,启动学生思维
    (1) 不完全归纳法引例:
    明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出"四就是四横、五就是五横……"的结论,用的就是"归纳法",不过,这个归纳推出的结论显然是错误的.
    (2) 完全归纳法对比引例:
    有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪明.
    在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.
    2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识
    (从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳.)
    (1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式.
    (2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况.
    3. 借助数学史料, 促使学生思辨
    (在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可能如此.那么,有没有更好的归纳法呢?)
    问题1 已知 = (n∈N),
    (1)分别求 ; ; ; .
    (2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?
    (培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为"迁移就是概括",这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程.)
    问题2 费马(Fermat)是17世纪法国着名的数学家,他曾认为,当n∈N时, 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
    问题3  , 当n∈N时, 是否都为质数?
    验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合数.
    第二阶段:新旧知识相互作用阶段--新旧知识作用,搭建新知结构

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