高一年级下第三次月考测试数学试卷

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高一年级下学期第三次月考数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分；答题时间150分钟．
第Ⅰ卷（选择题  共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）．
1某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为                                                        (　　) A．15,10,20     B．10,5,30     C．15,15,15      D．15,5,25
2．向量 ， ，则  （　　）
 A． 与 的夹角为60° B． ⊥  
 C． ∥  D． 与 的夹角为30°
3. 设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是(　　)
A．a＜a2＋b22＜b    B．a＜b＜a2＋b22
C．b＜a＜a2＋b22    D．b＜a2＋b22＜a
4．已知函数f(x)＝x＋2　　x≤0，－x＋2  x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为   (　 　)
A．[－1,2]    B．[－2,2]     C．[－2,1]         D．[－1,1]
5．在等差数列{an}中，若a4＋a13为一定值，则下列为定值的是     （ 　  ）
A．S15       B．S16      C．S17        D．S18
6．若某程序框图如右图所示，则该程序框图运行后输出的B等
于  （   ）
 A．63  B．31
 C．15  D．7
7．下面程序的输出结果为 （    ）
程序：  

A．3，4     B．4，7    C．7,7     D．7,11
8．已知函数 ，则 是 （    ）
 A．最小正周期为 的偶函数     B．最小正周期为 的奇函数  
 C．最小正周期为 的偶函数    D．最小正周期为 的奇函数
9．已知函数 若 是函数 的零点，
且 则   （    ）
 A．恒为负值  B．恒等于0
 C．恒为正值  D．不能确定
10． 给出50个数：1，2，4，7，11，…，其规
律是：第1个数是1，第2个数比第1个数
大1，第3个数比第2个数大2，第4个数
比第3个数大3， 以此类推，要计算这50
个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图
（如右图），请在图中判断框中的①处和处理框中
的②处填上合适的语句，使之能完成该题算
法功能                      （    ）
 A．i≤50；p=p+i B．i<50；p=p+i
 C．i≤50；p=p+1 D．i<50；p=p+1
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
       
11．往如图所示的边长为2的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率 的值．如果撒了1000个芝麻，落在圆内的芝麻总数是776颗，那么这次模拟中 的估计值是__________________。(精确到0.001)

12．函数y＝sin x＋3cos x在区间[0，π2]上的最小值为______________．
13．已知正项等比数列 满足： ，若 则 的最小值为           。
14．在斜三角形 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 =       。
15．给出下面的数表序列:
 
其中表n（n=1,2,3  ）有n行,表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍,记表n中所有的数之和为 ,例如 , , ．则数列 的通项 =　　　　　　　。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5个大题，共75分）。
16．（ 12 分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率．

17. （12分） 设x，y∈R＋且x2＋y22＝1，
（1）求xy的最大值及相应的x,y的值；
（2）求x1＋y2的最大值及相应的x,y的值．

18(12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为( -1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？ 

19．（12分）儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则不需买票(免票)；若身高超过1.1 m但不超过1.5m，则需买半票；若身高超过1.5 m，则需买全票．试设计一个买票的算法，画出相应的程序框图及写出程序．(设全票票价为a元)

20．（13分）在△ABC中，已知 ,
（1）求角A的大小． 
（2）若边AC=3，求△ABC的面积。

21．（14分）设数列 的前n项和为 ，如果 为常数，则称数列 为“科比数列”。
   （1）等差数列 的首项为1，公差不为零，若 为“科比数列”，求 的通项公式；
   （2）数列 的各项都是正数，前n项和为 ，若 对任意 都成立，试推断数列 是否为“科比数列”？并说明理由。

白鹭洲中学高一年级下学期第三次月考数学答题卷
一、选择题：每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
         
二、填空题：每小题5分，共25分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．
11、           12、           
13、            14、            
15、         
三、解答题：共74分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分．
16、

______________________________________________
17、

18、

______________________________________________
19、

20、

21、

参考答案：
1，A  2，C  3，B  4，D  5，B  6，A  7，D  8，C  9，C  10，A
 3，解析：a＝sin 15°＋cos 15°＝2sin 60°，b＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，∴a＜b，排除C、D两项．又a≠b，∵a2＋b22＞ab＝2sin 60°•2sin 61°＝3sin 61°＞2sin 61°＝b，故a＜b＜a2＋b22成立．
4，解析：当x≤0时，x≤0，x＋2≥x2，⇒－1≤x≤0，①
当x>0时，x>0，－x＋2≥x2，⇒0<x≤1.②
由①②取并集得－1≤x≤1.
11甲  ，  12，  1    13，3/2   14，  3     15，
12，解析：本题考查三角函数的最值．
则y＝sin x＋3cos x＝2(12sin x＋32cos x)＝2sin(x＋π3)，由x∈[0，π2]，∴π3≤x＋π3≤5π6，∴y≥2sin5π6＝1，∴y的最小值为1.
答案：1
15，答案:  ．                     
依题意, ,       ①
由① 2,得 ,    ②
将①-②,得
  ,
所以 ． 
16．解答：(1)各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.
 ∴第二小组的频率为：1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.
 ∵第二小组的频率为0.40，∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.       
 由此可补全直方图，补全的直方图如图所示．

 (2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人．
 ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．
 所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．
 (3)九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．
17，解：（1）∵
∴       当且仅当 时取最大值     ……6分
（2）∵x>0，∴x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32
而x 1＋y2＝2•x2(12＋y22)≤2[x2＋(12＋y22)]2
∴x 1＋y2≤2(12•32)＝324即(x 1＋y2)max＝324.
当且仅当 时取最大值324。……12分
18，解：如图，设需要t小时追上走私船. ……1分

∵BC2=AC2+AB2-2AC•ABcosCAB 
=22+( -1)2-2×2×( -1)cos120°=6,
∴BC= ,  ……4分

在△CBD中，∠CBD=120° 
cosCBD= ，
整理,得100t2-5 t-3=0  ，
解得　　t= 或t=-  (舍去) ．……8分

又∵  ，  ．
解得∠DCB=30°．……11分

答：沿北偏东60°追击，需 小时．……12分

19，解答：（1）简化集合A和B，然后对字母参数a进行讨论．
B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}．   ……2分
当3a＋1≥2，即a≥13时，得B＝{x|2≤x≤3a＋1}．……4分
当3a＋1＜2，即a＜13时，得B＝{x|3a＋1≤x≤2}．……6分
（2）∵A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，……8分
欲使A⊆B，只要2≤2a，a2＋1≤3a＋1.得1≤a≤3；
欲使A⊆B，只要3a＋1≤2a，a2＋1≤2.得a＝－1. ……11分
综上，使A⊆B的a的取值范围是1≤a≤3或a＝－1. ……12分
20，解：(1)设△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
由 ，得2cosA=    ①
 由①cos A＝32，又0°＜A＜180°，则A＝30°，……5分
(2)由 ，得2cos A＝ 3， 　①bc＝ 3a2，          ②
根据余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc，即b2＋c2－a22bc＝32，③
②代入③整理得 3b2－4bc＋ 3 c2＝0，
则b＝4c± 16c2－12c22 3，解得b＝ 3 c，或c＝ 3b.
当b＝ 3 c时，c＝a，则C＝A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝120°；
当c＝ 3 b时，b＝a，则B＝A＝30°，C＝180°－(A＋B)＝120°.
综上可知：A＝C＝30°，B＝120°或者A＝B＝30°，C＝120°.
    ……13分
21．解（1）设等差数列 的公差为 ， ，因为 ，则
 ，即 ．
整理得 ．                 ……3分
 因为对任意正整数 上式恒成立，则 ，
解得 ．　…… 5分
 故数列 的通项公式是 ．                  　　……6分
   ⑵ 由已知，当 时， ．因为 ，所以 ． ……7分
当 时， ， ．
两式相减，得 ．
因为 ，所以 = ．                 ……10分
显然 适合上式，所以当 时， ．
于是 ．
因为 ，则 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列．……12分
所以 不为常数，故数列 不是“科比数列”． ……14分.
 

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