四年级下册数学竞赛试题
- 名称:四年级下册数学竞赛试题
- 类型:四年级数学试题
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1 计算: 1+2+22+23+…+29+210
分析 这是首项系数是2的等比数列求和问题,可采用“错位相减法”求解.
解:设S=1+2+22+23+…+29+210 (1)
用2乘以上式的两边可得
2S=2+22+23+…=210+211 (2)
用(2)式减去(1)式的两边,得
S=(2+22+2 3+…+2 10+2 11)-(1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10)
=2 11-1
=2048-1
=2047.
例2 计算:1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+7×(0.5)4+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10
分析 这个和式中的每一项都是两个数的乘积,把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列,把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列,这种数列通常称为混合数列,它的求和方法也采用“错位相减法”.
解:设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10 (1)
用2乘以上式的两边可得
2S=1+3×0.5+5×(0.5)2+7×(0.5)3+…+17×(0.5)8+19×(0.5)9 (2)
用(2)式减去(1)式的两边,得
S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3+…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10
=1+1+0.5+(0.5)2+…+(0.5)7+(0.5)8-19×(0.5)10
再设 A=1+0.5+(0.5)2+…+(0.5)7+(0.5)8 (3)
用2乘以(3)式的两边可得:
2A=2+1+0.5+…+(0.5)7 (4)
用(4)式减去(3)式两边,得
A=2-(0.5)8=2-0.00390625=1.99609375
于是,有:
S=1+1.99609375-19×(0.5)10
=2.99609375-19×0.0009765625
=2.99609375-0.0185546875
=2.9775390625.
例3 计算:11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102
解:利用裂项法,有
11×12×13=(11×12×13×14-10×11×12×13)÷4,
12×13×14=(12×13×14×15-11×12×13×14)÷4,
13×14×15=(13×14×15×16-12×13×14×15)÷4,
…
100×101×102
=(100×101×102×103-99×100×101×102)÷4,
把这90个等式相加,得
原式=(100×101×102×103-10×11×12×13)÷4
=25×101×102×103-10×11×3×13
=26527650-4290
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